وأسهمت هذا المعادلة الرياضية التي نقشها هاملتون، على جسر بروم أثناء سيره على طول القناة الملكية في دبلن، في حساب القوى عند تصميم جسر أو جهاز تصوير بالرنين المغناطيسي أو توربينات الرياح، بالإضافة إلى برمجة محركات البحث وتوجيه مركبة جوالة على المريخ.
واستلهم هاملتون طريقته الرائعة لتمثيل الدورات ثنائية الأبعاد باستخدام ما يسمى "الأعداد المركبة"، والتي لها جزء "حقيقي" وجزء "تخيلي"، فالجزء التخيلي هو مضاعف للرقم i، "الجذر التربيعي لـ ناقص واحد"، والذي يتم تعريفه بالمعادلة "i ² = -1".
وأعجب هاميلتون بشدة بهذا الارتباط بين الأعداد المركبة والهندسة، وشرع في محاولة القيام بذلك في ثلاثة أبعاد لقد تخيل مستوى مركبًا ثلاثي الأبعاد، مع محور وهمي ثانٍ في اتجاه رقم وهمي ثانٍ j، عموديًا على المحورين الآخرين.
واستغرق الأمر منه أشهرًا شاقة، حتى أدرك أنه إذا أراد توسيع سحر الدوران ثنائي الأبعاد للضرب في i، فإنه يحتاج إلى أعداد مركبة رباعية الأبعاد، مع رقم وهمي ثالث هو k في هذا الفضاء الرياضي رباعي الأبعاد، سيكون المحور k عموديًا على الثلاثة الآخرين.
ولا يمكن تعريف k فقط بواسطة "k ² = -1"، بل يحتاج تعريفها أيضًا إلى "k = ij = -ji" (الجمع بين هاتين المعادلتين لـ k يعطي ijk = -1) بجمع كل هذا معًا نحصل على "i ² = j ² = k ² = ijk = -1"، وهو الاكتشاف الذي أصاب هاملتون مثل صاعقة البرق في جسر بروم.
وأطلق هاملتون على أرقامه رباعية الأبعاد اسم "رباعيات"، واستخدمها لحساب الدورات الهندسية في الفضاء ثلاثي الأبعاد، هذا هو نوع الدوران المستخدم اليوم لتحريك روبوت، على سبيل المثال، أو توجيه قمر صناعي.
وأعطى العالم الرياضي الجزء التخيلي من الرباعية اسم "المتجه"، ويشفر المتجه نوعين من المعلومات في وقت واحد، أشهرها مقدار واتجاه كمية مكانية مثل القوة أو السرعة أو الموضع النسبي.
وحدد هاملتون طريقتين لضرب المتجهات معًا، الأولى تنتج رقمًا (يُطلق عليه اليوم حاصل الضرب القياسي أو النقطي)، والثانية تنتج متجهًا (يُعرف باسم المتجه أو حاصل الضرب المتجهي)، تظهر هذه الضرب اليوم في العديد من التطبيقات، مثل صيغة القوة الكهرومغناطيسية التي تدعم جميع أجهزتنا الإلكترونية.
ويذكر أن علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر، طوروا هذه الحقيقة الرياضية، وأدخلوا عليها متجهات جديدة، ساعدتهم في صناعة التلغراف والعديد من الأجهزة الإلكترونية التي تعد حدثا مهما في تاريخ الثورة التكنولوجية.